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离散型随机变量教案

时间：2022-06-27 11:11:56 教案我要投稿

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离散型随机变量教案

　　在教学工作者开展教学活动前，通常需要准备好一份教案，教案是教学活动的依据，有着重要的地位。如何把教案做到重点突出呢？下面是小编收集整理的离散型随机变量教案，仅供参考，大家一起来看看吧。

离散型随机变量教案

离散型随机变量教案1

　　教材分析教材的地位和作用

　　期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫。同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响。

　　教学重点与难点

　　重点：离散型随机变量期望的概念及其实际含义。

　　难点：离散型随机变量期望的实际应用。

　　[理论依据]本课是一节概念新授课，而概念本身具有一定的抽象性，学生难以理解，因此把对离散性随机变量期望的概念的教学作为本节课的教学重点。此外，学生初次应用概念解决实际问题也较为困难，故把其作为本节课的教学难点。

　　二、教学目标

　　[知识与技能目标]

　　通过实例，让学生理解离散型随机变量期望的概念，了解其实际含义。

　　会计算简单的离散型随机变量的期望，并解决一些实际问题。

　　[过程与方法目标]

　　经历概念的建构这一过程，让学生进一步体会从特殊到一般的`思想，培养学生归纳、概括等合情推理能力。

　　通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识。

　　[情感与态度目标]

　　通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度。在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，从而实现自我的价值。

　　三、教法选择

　　引导发现法

　　四、学法指导

　　“授之以鱼，不如授之以渔”，注重发挥学生的主体性，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题。

离散型随机变量教案2

　　一、教学内容解析

　　概率是研究随机现象的数量规律的。认识随机现象就是指：知道这个随机现象中所有可能出现的结果，以及每一个结果出现的概率。而对于给定的随机现象，首先要描述所有可能出现的结果。在数学上处理时，一个常用的、也很自然的做法就是用数来表示结果，即把随机试验的结果数量化，使得每个结果对应一个数，这样就可以通过实数空间（定量的角度）来刻画随机现象，从而就可以利用数学工具，用数学分析的方法来研究所感兴趣的随机现象。简言之，随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，它使得我们可以借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质，从而可以建立起应用到不同领域的概率模型，这便是为什么要引入随机变量的缘由。

　　随机变量在概率统计研究中起着极其重要的作用，随机变量是用来描述随机现象的结果的一类特殊的变量，随机变量能够反映随机现象的共性，有关随机变量的结论可以应用到具有不同背景的实际问题中。随机变量就是建立了一个从随机试验结果的集合到实数集合的映射，这与函数概念在本质上（一种对应关系）是一致的，随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。

　　离散型随机变量是最简单的随机变量，随机变量和离散型随机变量是上、下位概念的关系。本节课主要通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法。本节课的重点是认识离散型随机变量的特征，了解其本质属性，体会引入随机变量的作用。

　　二、教学目标解析

　　1、在对具体实例的分析中，认识和体会随机变量对刻画随机现象的重要性和建立随机变量概念的必要性，并会恰当地定义随机变量来描述所感兴趣的随机现象，能叙述随机变量可能取的值及其所表示的随机试验的结果；

　　2、在列举的随机试验中，通过对随机变量取值类型的分辨，归纳和概括离散型随机变量的特征，形成离散型随机变量的概念，并会利用离散型随机变量刻画随机试验的结果；

　　3、在举例、观察、思考、发现中经历将随机试验结果数量化的过程，渗透将实际问题转化为数学问题的思想方法，进一步形成用随机观念观察和分析问题的意识。

　　三、教学问题诊断分析

　　本节课学生学习的难点是对引入随机变量目的与作用的认识，以及随机变量和普通变量的本质区别。随机变量这个概念其实早已存在于学生的意识之中，而且在不少场合都已不自觉的“实际使用”，只是没有明朗化。学生学习这一概念就是把这些“实际使用的”规则、程序、步骤等进一步加以明确。所以，教师的责任就是为学生建立随机变量这个概念修通渠道。可通过学生熟悉的掷骰子的随机试验让学生体会随机变量概念的发生，在师生举例中来体会随机变量概念的发展，特别是诸如抛掷一枚硬币等试验，其结果不具有数量性质，怎么让学生自然地想到用数来表示其试验结果，并且所用的数又尽量简单，便于研究。教学中需多举试验结果本身已具有数值意义的实例，来发挥正迁移作用。通过多举例让学生理解：一旦给出了随机变量，即把每个结果都用一个数表示后，认识随机现象就变成认识这个随机变量所有可能的取值和取每个值时的概率。

　　另外，随机变量和离散型随机变量是上、下位概念的关系，从学习的认知方式看，下位学习依靠的主要是同化，上位学习依靠的主要是顺应，上位学习一般采用的思维方法主要是概括和综合，它主要通过改造（归纳和综合）原有认知结构中的有关内容而建立新的认知结构。因此，从这一角度来分析，学生对随机变量概念的学习和真正理解比离散型随机变量的学习要困难一些。故在随机变量的教学中，要特别重视学生举例，让学生在充分的自主活动中体验数学化的过程，体验将随机试验结果数量化的过程，体会随机变量对刻画随机现象的重要性和研究随机现象的工具性作用，从而来把握随机变量的内核。

　　四、教学支持条件分析

　　学生在必修3概率一章中学习过的随机试验、随机事件、简单的概率模型和必修1中学习过的变量、函数、映射等知识是学习、领悟和“接纳”随机变量概念的重要知识基础，教学时应充分注意这一教学条件；另外，为更好地形成随机变量和离散型随机变量两个概念，教学中可借助媒体列举和展现丰富的实例和问题，以留给学生更多的时间思考和概括。

　　五、教学过程设计

　　（一）教学基本流程

　　（二）教学过程

　　1、理解随机变量概念

　　问题1：抛掷一枚骰子，可能出现的结果有哪些？概率分别是多少？

　　[设计意图]以学生熟悉的随机试验为例，在复习旧知中孕育新知。

　　[师生活动]画表一，指出试验结果分别有“1点的面朝上”、“2点的面朝上”、“3点的面朝上”、“4点的面朝上”、“5点的面朝上”、“6点的面朝上”，它们都是基本事件。为了研究这些事件，常常把它们分别与一个数字对应起来。比如，用数字1与“1点的面朝上”这个试验结果（样本点）对应，用数字2与“2点的面朝上”这个试验结果（样本点）对应，等等。师生共同填写数字，形成表二。

　　引导学生分析，像这样“用数字表示随机试验的结果”的量用X来表示，它可以取集合{1，2，3，4，5，6}的值，说明X是一个变量。

　　[设计意图] “用数字来表示随机试验的结果”实际上早已存在于学生的意识之中，而且在不少场合都已不自觉地“实际使用”，如射击比赛中会用“环数”去表示射击成绩，掷骰子时会用“点数”去表示掷出结果，抽奖时会先对奖券“编号”，随机抽取一部分学生时会用“学号”去代替等等，只是没有明朗化。因而，“用数字来表示随机试验的结果”可以通过教师有启发地提问，有意义地讲授进行，让学生觉得问题的提出，概念的发生、发展过程较为自然，能够从教师的讲授中感受数学是怎样一步步研究现实世界的。

　　问题2：在这里（指着表二），每一个试验结果用唯一确定的数字与它对应，这个对应关系是什么？

　　[设计意图]建立一个从试验结果的集合到实数集合的'映射。让学生感悟：一旦给出了随机变量，即把每个结果都用一个数表示后，认识随机现象就变成认识这个随机变量所有可能的取值和取每一个值时的概率，从而感受把随机试验的结果数字化（成为实数）的必要性，体会引入随机变量的必要性。同时让学生感受概念的从无到有、自然形成的过程。

　　[师生活动]启发诱导，引导学生发现在这里建立了一个从试验结果的集合到实数集合的映射。形成下表三：抛掷一枚骰子

　　让学生观察、思考：刚才，用数字表示试验结果的变量X，它根据什么在变化？让学生发现它的取值随试验结果的变化而变化，它的变化是有规律的，这是个特殊的变量，与随机试验的结果有关，在试验之前不知道会出现哪个值（即它的取值依赖于试验结果，因此取值具有随机性，即在试验之前不能肯定它的取值，一旦完成一次试验，它的取值随之确定）。同时，教师指出：在这个试验中，我们确定了一个对应关系（也即建立了一个试验结果到实数的映射）使得每一个试验结果（样本点）都用一个确定的数字表示（即所有可能取值是明确的）。在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化。像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量。随机变量常用字母表示。

　　问题3：随机变量这个概念与我们曾经学过的函数概念有类似的地方吗?

　　[设计意图]引导学生与曾经学过的函数概念比较，从而加深对随机变量概念的理解。

　　[师生活动]“类比”函数概念，领悟随机变量和函数概念在本质上都是一种对应关系，都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数，在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。随机变量的取值范围我们称为随机变量的值域。如抛掷一枚骰子，随机变量的值域为；

　　引导学生利用随机变量表达一些事件，例如抛掷一枚骰子中，表示“1点的面朝上”；“3点的面朝上”可以用表示；表示“5点的面朝上”或“6点的面朝上”。

　　同时指出：通过映射把随机试验结果与实数进行对应，也就是，把随机试验的结果数量化，用随机变量表示随机试验的结果，这样“随机试验结果的集合到对应概率集合的映射”就可以用“随机变量的取值集合到对应概率集合的映射”来表示，即可把“对随机现象统计规律的研究具体转化为对随机变量概率分布的研究”。这样我们就可以借用有关实数的数学工具来研究随机现象的本质了。

　　接着，进一步指出：在学习《数学（必修3）》时我们曾经学习过概率、方差等概念，学过简单的概率模型，在今后的学习中，我们将利用随机变量描述和分析某些随机现象，进一步体会概率模型的作用及运用概率思想思考和解决一些实际问题。（体现章引言）

　　2、对随机变量的深刻认识(对对应思想——映射的体验)

　　问题4：你能再举些例子吗？（请学生列举随机试验，并将试验结果数量化，不必写出概率）

　　[设计意图]让学生参与举例，体验将实际问题数学化（把实际问题数学化是学习数学极其重要的数学方法）和将随机试验结果数量化的过程。其意义在于两个方面:其一,学生通过寻找(寻找本身就是一个甄别随机与非随机的过程),选择自己感兴趣的随机现象,并学会用随机变量表示随机事件;其二,在将试验结果数量化的过程中体会随机变量在研究随机现象中的重要作用。同时进一步深刻理解随机变量的概念,领悟随机变量学习的重要性，进一步形成用随机观念观察和分析问题的意识。

　　[师生活动]教师关注学生的举例，关注其关键过程：随机试验中所有可能出现的结果有哪些？如何将试验的结果数量化？要求学生画表，体会映射的过程。教师给学生充分展示和交流所举例子的时间。同时，教师也参与举例（教材中有关于抽取产品、射击、浏览某网页等例子可以纳入进来），深刻体会将实际问题（随机现象）数学化（数字化）的过程，感受建立随机变量概念的重要意义。

　　对学生列举的试验结果没有数量标志的随机事件，诸如投掷一枚硬币的试验等，要引导学生分析比较，让学生体会对于同一个随机试验，可以用不同的随机变量来表示。但用哪两个数字来表示，主要是要尽量简单，合理，便于研究。如表四：抛掷一枚骰子

　　在学生举例中学习如何用随机变量去定义试验结果没有数量标志的随机事件（中间表示映射的一栏表格可以省略）。

　　问题5：任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？同一个随机试验的结果，可以用不同的数字表示吗？

　　[设计意图]让学生领悟任何随机试验的所有结果都可以用数字来表示（试验结果不具有数量性质的可以通过赋值，将其数量化），同一个随机试验的结果，可以用不同的数字表示，表示的原则主要是有实际意义，简单合理，便于研究。

　　3、形成离散型随机变量概念

　　问题6：随机变量的取值都是整数吗？你能否举个（些）例子，而随机变量的取值不是整数呢？

　　[设计意图]关注学生的举例，借学生举出的例子，引导分析数学化之后的随机变量取值的集合的特征（一个新概念产生之后，我们应该端详它一番），分辨随机变量的类型，即某些随机变量的取值是离散的，而有些不是,从而给出离散型随机变量的概念。如果学生列举的都是离散型随机变量，则教师可启发点拨，启发后引导学生再举例，或给出以下问题7：

　　问题7：请仿照刚才的例子，分析下列随机现象，随机变量可以取哪些值？你能够一个一个列出来吗?

　　（1）某公交车站每隔10分钟有1辆汽车到站，某人到达该车站的时刻是随机的,他等车的时间；

　　（2）检测一批灯泡（相同型号）的使用寿命。

　　[设计意图]通过与前面列举例子的比较，引导学生发现这两个试验结果中，表示随机事件的随机变量的取值是一个区间，其值无法一一列出，以此形成离散型随机变量的概念。同时明晰在随机现象中随机变量的取值类型是丰富多样的，这也是对随机变量概念（外延）的进一步认识。

　　问题8：如果我们仅仅关心“某人等车的时间多于5分钟或不多于5分钟”两种情况，那该怎样定义随机变量呢?

　　[设计意图]在研究随机现象时，为研究方便，有时需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量。让学生明白恰当定义随机变量给我们研究问题带来方便。问（2）让学生选择自己关心的问题来恰当定义随机变量。

　　[师生活动]通过分析，让学生明白，在研究随机现象时，有时需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量。

　　4、练习反馈（见教科书第45页）

　　下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果。

　　（1）抛掷两枚骰子,所得点数之和；

　　（2）某足球队在5次点球中射进的球数；

　　（3）任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料,其实际量与规定量之差。

　　[设计意图]在应用中巩固离散型随机变量的概念，并能熟练利用离散型随机变量刻画随机试验的结果。

　　5、小结回授

　　问题9：你能用自己的语言描述随机变量和离散型随机变量的定义及它们之间的区别吗？（学生回答后，可以再问：你能简单地说说引入随机变量的好处吗？）

　　[设计意图]学生用自己的语言来概括本节课学到的知识，是一种“主动建构”，也真正体现知识学到了手。

　　[师生活动]引入随机变量后，随机试验中我们感兴趣的事件就可以通过随机变量的取值表达出来。认识随机现象就变成认识这个随机变量所有可能的取值和取每个值时的概率。也即把随机试验的结果数量化，用随机变量表示随机试验的结果，我们就可以借助于有关实数的数学工具来研究所感兴趣的随机现象了。

　　六、目标检测设计

　　人教A版教科书第49页习题中A组,第1,2,3题。

　　教学反思对随机变量概念学习的设计上，分两步走：第一步是认识“用数字表示随机试验的结果”的量是一个变量，第二步是通过建立“一个从试验结果的集合到实数集合的映射”认识到在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化，即这是一个特殊的变量，与随机试验的结果有关，在此基础上学习随机变量概念，并理解随机变量的特征：它的取值依赖于试验结果，具有随机性，即在试验之前不能肯定它的取值，一旦完成一次试验，它的取值随之确定，且所有可能取值是明确的。进一步，如何让学生深刻认识和理解“随机变量”这一概念？原教学设计采用让学生举例的方式，在学生的活动中来完成对“随机变量”概念的理解，这一设计思路得到同行肯定。事实上，要使学生真正理解数学知识，必须要有他们身体力行的实践，从自己亲历亲为的探索思考中获得体验，从自己不断深入的概括活动中，获得对数学概念、原理的本质的领悟。此处安排学生举例正是基于这种考虑，其意义在于：其一，可以观察学生是否领会把随机试验结果数学化的思想，以及怎样把随机试验结果数学化（尤其是试验的结果不具有数量性质的随机现象）；其二，体会引入随机变量概念后，随机试验中的事件就可以通过随机变量的取值表达出来，“随机试验结果的集合到对应概率集合的映射”就可以用“随机变量的取值集合到对应概率集合的映射”来表示，（即研究随机现象的统计规律就可以转化为研究随机变量的概率分布）。

离散型随机变量教案3

　　●教学目标

　　(一)教学知识点

　　1.离散型随机变量的方差(Dξ)的概念，标准差(σξ)的概念.

　　2.离散型随机变量η=aξ+b(其中ξ为随机变量)的方差D(aξ+b)=a2·Dξ的推导.

　　3.服从二项分布的离散型随机变量ξ(即ξ~B(n,p))的方差Dξ=npq.

　　(二)能力训练要求

　　1.会根据离散型随机变量的分布列求出方差值、标准差(σξ)的值.

　　2.会求随机变量η=aξ+b的方差值(D(aξ+b)=a2Dξ),ση的值和服从二项分布的随机变量ξ~B(n,p)的方差值、标准差σξ的值的计算.

　　3.能根据随机变量的方差值、期望值等求出某个变量值时的概率，也就是逆向思维的运用.

　　4.会运用期望和方差的计算公式、方法解决生产生活中实际问题.

　　(三)德育渗透目标

　　1.通过实例和对初中知识的回顾培养学生的直觉思维中的类比能力，培养学生的辩证思维能力.

　　2.培养学生要学会观察问题、分析问题和解决问题的能力，学会用数学眼光分析自己周边的事物，抽象概括为数学模型，要体现生活与数学的关系.

　　3.培养学生的坚强意志、勤于思考、动手动脑等非智力因素.培养学生的健全的人格，让更多的学生有更好的发展.

　　●教学重点

　　离散型随机变量的方差是随机变量的另一个重要特征数(或数字特征)，也是对随机变量的一种简明扼要的描写.随机变量的方差表现了随机变量所取的值相对于它的期望的集中与离散的程度.随机变量ξ的方差就是另一个与ξ密切相关的随机变量(ξ－Eξ)2的均值.两个计算方差的简单公式：(1)D(aξ+b)=a2Dξ;(2)如果ξ~B(n,p),则Dξ=npq(这里q=1－p).

　　●教学难点

　　离散型随机变量的方差Dξ的定义引入是教学的难点，两个方差的计算公式D(aξ+b)=a2Dξ，若ξ~B(n,p)则Dξ=npq的证明是另一个难点.第一个难点的原因是：由于教科书没有引入随机变量函数的一般定义，故只有从初中代数的回顾中提出问题，给出方差定义.

　　●教学方法

　　建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践法.在学生已经掌握离散型随机变量分布列及数学期望的认知水平上，利用直觉类比的方法对离散型随机变量的期望及初中代数中的一组数据的方差概念进行同化或顺应，然后再进行整合，得到离散型随机变量的方差的概念.

　　●教具准备

　　投影仪或实物投影仪.

　　幻灯片1.2.2(二)A

　　例3：有A、B两种钢筋，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度指标如下：

　　●教学过程

　　Ⅰ.课题导入

　　在初中代数中我们曾经学过这样一个问题：设在一组数据x1,x2,…,xn中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1－)2,(x2－)2,…,(xn－)2,那么S2=［(x1－)2+(x2－)2+…+(xn－)2］叫做这组数据的方差.(板书)请问对于离散型随机变量ξ所有可能取的值对应的概率分布是否也有方差呢？答案是：“有！”如何定义呢？这就是我们今天来学习的课题：离散型随机变量的期望与方差(二)——方差.(板书课题)

　　Ⅱ．讲授新课

　　1.方差概念的导入

　　［师］如果离散型随机变量ξ所有可能取的值是x1,x2,…,xn,…，且取这些值的概率分别是p1,p2,…,pn,…,(板书)，那么，如何定义ξ的方差呢？请同学们先讨论，然后再来总结.

　　［生］(稍过片刻后)因为ξ的期望它是反映了离散型随机变量取值的平均水平，这与我们初中所学过的一组数据x1，x2，…，xn的平均值的.意义是相同的，由初中所学过的一组数据的方差定义直接类比有：把［(x1－Eξ)2+(x2－Eξ)2+…+(xn－Eξ)2］定义为随机变量ξ的方差.

　　［师］初中我们学习的一组数据的方差的概念，这一组中的个数是有限的，而这个离散型随机变量ξ的取值是有限还是无限呢？其二，一组数据中每一个出现的频率都是一样的，即为，而离散型随机变量ξ所有可能取值对应的概率是否相同呢？请同学们再从这两点出发，结合离散型随机变量ξ的期望定义，也要看看初中学习的平均数的定义，由几点出发能否得到离散型随机变量ξ的方差的定义呢？

　　(课堂上的学术研讨气氛十分浓厚，他们按照划分的学习小组进行讨论研究，教师也参与进去，个别指导或旁听或解疑或解答学生的问题)

　　［生］(片刻后)我们可以进行这样的类比：

　　一组数据：x1，x2，…，xn离散型随机变量ξ取值：x1，x2，…，xn，…

　　平均值期望Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…

　　方差S2=［(x1－)2+(x2－)2+…+(xn－)2］方差：(x1－Eξ)2p1+(x2－Eξ)2p2

　　+…+(xn－Eξ)2pn+….

　　［师］刚才这位同学的类比是否合理呢？这是完全正确的(开始板书下列内容)：把Dξ=(x1－Eξ)2p1+(x2－Eξ)2p2+…+(xn－Eξ)2pn+…叫做随机变量ξ的均方差，简称为方差.Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ.“σ”读作(国际音标)这就是随机变量ξ的方差和标准差的定义.由此可以看出，类比固然可以引导我们走向成功一面，但也会把我们领入歧途.

　　我们知道初中学习的方差它是说明了这组数据的波动情况，类似地离散型随机变量ξ的方差Dξ和标准差σξ的实际意义是什么呢？

　　［生］这两个数学量都是反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.(板书)

　　［师］在学习数学期望时，我们证明E(aξ+b)=aEξ+b，你们能猜想出D(aξ+b)的式子吗？

　　［生］D(aξ+b)也是满足线性关系，即D(aξ+b)=aDξ+b.

　　［师］这仅仅是猜想，你能证明吗？

　　［生］可以，利用定义直接推导.(他走上讲台，在黑板上写道)

　　∵E(aξ+b)=aEξ+b.P(η=axi+b)=P(ξ=xi)(i=1，2，3，…，n，…).

　　∴D(aξ+b)=［ax1+b－E(aξ+b)］2p1+［(ax2+b)－E(aξ+b)］2p2+…+［(axn+b)－E(aξ

　　+b)］2pn+…=(ax1+b－aEξ－b)2p1+(ax2+b－aEξ－b)2p2+(ax3b－aEξ－b)2p3+…+(axn+b－

　　aEξ－b)2pn+…=(ax1－aEξ)2p1+(ax2－aEξ)2p2+…+(axn－aEξ)2pn+…=a2［(x1－Eξ)2p1+(x2－Eξ)2p2+…+(xn－Eξ)2pn+…］=a2Dξ.

　　(注：该生刚开始时，写［x1－E(aξ+b)］2，［x2－E(aξ+b)］2，…，展开后发现不对，没有办法推下去，这时教师现场指导，考查的随机变量是η=aξ+b，而不是ξ，它所对应的可能值是ax1+b，ax2+b，…，axn+b，….而不是x1，x2，…，xn，…，学生进行修改，继续推导下去.然后教师走到学生中间与他们共同研究，发现问题个别指导，达到共识)

　　［师］原来你的猜想是D(aξ+b)=aDξ+b，而证明的结果是D(aξ+b)=a2Dξ，你是相信哪一个呢？

　　［生］(齐声说)相信证明的结果.

　　［师］类比的思想方法在科学发现中有着十分重要的作用，这一点是不可撼动的但我们要知道事物都是一分为二的，类比固然可以引导我们走向成功，但有的时候也会捉弄我们，把我们领向歧途，本题就是一个事实.所以，我们既要学习类比与猜想，又要学会严密的证明，这样我们思维品质更加优异，更具有辩证性.

　　如果离散型随机变量ξ满足二项分布，即ξ~B(n，p)，那么Dξ又等于什么？同学们能否仿照Eξ的证明方法给出证明？

　　(学生跃跃欲试，拿起笔在草稿上飞速书写或相互讨论)

　　［生］我愿意到黑板上推导试试看.因为ξ~B(n，p)，∴Eξ=np，Dξ=E(ξ－Eξ)2=

　　E［ξ2－2ξEξ+(Eξ)2］=Eξ2－2Eξ·Eξ+(Eξ)2=Eξ2－(Eξ)2.而Eξ2=02··p0qn+12·

　　·p1qn－1+22··p2·qn－2+32·p3qn－3+…+n2·pnq0.( )

　　∵k2=(k2－k)+k，∴k2=(k2－k)+k·=k(k－1)+n=n(k－1)+n1=n(n－1)+n.

　　∴( )为Eξ2=0+［n·(1－1)·+n·］p1qn－1+［n(n－1)+n］p2qn－2+［n(n－1)+n］p3qn－3+…+［n(n－1)+n］pkqn－k+…+［n(n－1)+

　　n］pn·q0=n(n－1)p2［p0qn－2+p1qn－3+…+pn－2q0］+np·［p0qn－1

　　+p1qn－2+p2qn－3+…+pn－1q0］=n(n－1)p2(p+q)n－2+np·(p+q)n－1=n(n－1)p2+np

　　∴Dξ=Eξ2－(Eξ)2=n(n－1)p2+np－(np)2=np－np2=np(1－p)=npq(q=1－p).即Dξ=npq.

　　［师］这位同学已经证明的太妙了！请同学详细读读他的书写过程.你的解法和他的是否相同，如果你没有证出来，你的问题症结在何处，正确找出差异，才能更好地进步.

　　［生］我看太繁，没有敢往下写，也不知道如何化简( )式，我没有他的那种毅力.

　　［生］对于我知道运用，但对于k2，我就不知道该如何化简了.他在黑板写的是拆项(即添项去项)，构造出，然后再来运用(k－1)·=(n－1).这是证明本题的核心所在.他的代数推理能力太棒了，我要向他学习.

　　［师］这两位同学都说出真心话，他们对黑板上的同学的证明给予了充分的肯定.从这里也看出了我们在平时的学习中要有恒心，要有信心，要有坚韧不拔的毅力和坚强的意志，见到困难不能低头，只有这样才能把自己的工作和学习做的更加出色.(学生们一起鼓掌)

　　(这种宽松和谐气氛的营造不是老师一个人去说教的，而是靠师生共同去创造的，教师的宽厚待人、谦虚求实、严而有爱、学识广博，往往是唤醒沉睡的课堂的关键，教师的精湛的教学艺术又是活跃课堂研讨气氛的调和剂，教师的作用是组织者、策划者，而学生才是真正的主人)

　　2.课本例题

　　［例1］(原课本例5)已知离散型随机变量ξ1和ξ2的概率分布

　　求这两个随机变量ξ1与ξ2的期望、方差与标准差.

　　(教师简要地把表写在黑板上，请同学来编题，设计问题)

　　［师］按黑板上的表格中的有关数据，哪位同学提出求什么问题？

　　［生］可以求随机变量ξ1、ξ2的方差与标准差.

　　［师］对，那我们就一起来求解吧！

　　［师］我们先计算出ξ1、ξ2的期望，再利用方差的定义求解.

　　解：Eξ1=1×+2×+3×+4×+5×+6×+7×=×(1+2+3+4+5+6+7)=4.

　　Dξ1=(1－4)2×+(2－4)2×+(3－4)2×+(4－4)2×+(5－4)2×+(6－4)2×+(7－4)2×=(32+22+12+02+12+22+32)×=2×14×=4.

　　∴σξ1==2

　　Eξ2=3.7×+3.8×+3.9×+4×+4.1×+4.2×+4.3×=×(3.7+3.8+3.9+4+4.1+4.2+4.3)=×=4.

　　Dξ2=(3.7－4)2×+(3.8－4)2×+(3.9－4)2×+(4－4)2×+(4.1－4)2×+(4.2－4)2×+(4.3－4)2×=(0.32+0.22+0.12+02+0.12+0.22+0.32)×=×2×14×=0.04.

　　∴σξ2==0.2

　　［师］此题中Eξ1=Eξ2，但Dξ1≠Dξ2，ξ1和ξ2都是以相等的概率取各个不同的数值，ξ1取较为分散的数值1，2，3，4，5，6，7，ξ2取较为集中的数值3.7，3.8，3.9，4，4.1，4.2，4.3.Eξ1=Eξ2=4，Dξ1=4，Dξ2=0.04.方差比较清楚地指出了ξ2比ξ1取值更集中，由σξ1=2，σξ2=0.2可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差，这个偏差甚至可以让学生从随机变量的分布列通过猜想得到.

　　［例2］(原课本P14例6)甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：

　　用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平.

　　(教师先在黑板上列出两张表格，请学生命题，但又不同于上题)

　　［师］请同学们根据表中提供的数据编拟一道试题.

　　［生］甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，各有关数据如表所示，求甲、乙两名射手的击中环数的期望、方差和标准差.

　　［师］可以！还有哪位同学提出新的问题.

　　［生］甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，根据所给的数据，问哪个水平高？

　　［师］这个问法比较好，也是目前生产、生活中常见的问题，从实际问题抽象成数学问题，这个过程就需要建构.要想更好地回答这个问题，必须要计算期望与方差，利用它们来分析.

　　［生］Eξ1=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9，Dξ1=(8－9)2×0.2+(9－9)2×0.6+(10－9)2×0.2=0.2+0+0.2=0.4

　　Eξ2=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9，Dξ2=(8－9)2×0.4+(9－9)2×0.2+(10－9)2×0.4=0.4+0+0.4=0.8.

　　从上可知，Eξ1=Eξ2，Dξ1

　　［师］ξ1和ξ2所可能取的值是一致的，只是P(ξ=8)，P(ξ=9)，P(ξ=10)的分布情况不一样.Eξ1=Eξ2，这时通过Dξ1和Dξ2来比较ξ1与ξ2的集中与离散程度，即两名射手射击成绩的稳定状况.在许多问题中常常在Eξ1=Eξ2或Eξ1与Eξ2很接近时用Dξ1和

　　Dξ2来比较两个随机变量ξ1和ξ2，并决定取舍.

　　下面再看一题(打出幻灯片1.1.2A)请一位同学读题，然后谈谈你的解题策略是什么？

　　［生］(读完题后说)要比较它们的质量，首先要看他们的平均抗拉强度是否达标，即它们的数学期望是否低于120，再比较它们的方差.

　　［生］解：EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125.

　　EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125.

　　两种钢筋的平均抗拉强度都是125.此时我们再看它们与平均强度的偏离程度，即它们的方差大小：

　　DξA=0.1×(110－125)2+0.2×(120－125)2+0.4×(125－125)2+0.1×(130－125)2+0.2×(135－125)2=50.

　　DξB=0.1×(110－125)2+0.2×(115－125)2+0.4×(125－125)2+0.1×(130－125)2+0.2×(145－125)2=165.

　　∵DξB>DξA，∴B种钢筋的抗拉强度指标与其平均值偏差很大，即取值较分散，所以尽管它们中有的抗拉强度指标很大，但不合格的数量比A种的要多，故可以认为A种钢筋比B种钢筋质量要好.

　　［师］这个例子说明，在实际问题中仅靠期望值还不能完善地说明随机变量的分布特征，还必须研究其偏离平均值的离散程度即离散型随机变量的方差.请同学们注意收集整理这些信息，一定能有更大的收获.

　　Ⅲ.课堂练习

　　课本P15练习题，1、2、3、4题(学生板演)

　　Ⅳ.课时小结

　　［师］今天我们学习离散型随机变量的方差，它是随机变量的又一个重要特征数.离散型随机变量的方差的公式是Dξ=·pi,即Dξ=E(ξ－Eξ)2.特例是:①D(aξ+b)=a2Dξ;②如果ξ~B(n，p)，那么Dξ=np(1－p);③D(ξ=c)=0.要灵活运用方差来研究有关问题.注重学以致用.

　　Ⅴ．课后作业

　　(一)课本P16，7、8题.

　　(二)预习课本P17，1.3抽样方法.

　　●板书设计

　　离散型随机变量的方差

　　一、定义：

　　1.把Dξ=(x1－Eξ)2p1+(x2－Eξ)2p2+…+(xn－Eξ)2pn+…叫做随机变量ξ的方差.

　　2.Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ.

　　3.几个特例：

　　①D(aξ+b)=a2Dξ;

　　②ξ~B(n，p)，则Dξ=np(1－p);

　　③D(ξ=c)=0.

　　公式：D(aξ+b)=a2Dξ的推导过程，

　　ξ~B(n，p)时，Dξ=np(1－p)的推导.

　　二、例题

　　例1 例2 例3

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